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  • 卡塔兰猜想

    卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)命名。历史上,清代数学家明安图(1692年-1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”,远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”

    编辑摘要

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    介绍/卡塔兰猜想 编辑

    卡塔兰猜想是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰(Eugène Charles Catalan)在1844年提出的一个数论的猜想。它是说除了8=2^3,9=3^2,没有两个连续整数都是正整数的幂;以数学方式表述为:不定方程x^a-y^b=1的大于1的正整数x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3。

    江苏快三也可以叫“8--9”猜想。

    江苏快三2002年4月,帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库(Preda Mihăilescu)证明了这猜想,所以它是定理了。这个证明由尤里·比卢(Yuri Bilu)检查,大幅使用了分圆域和伽罗华模。

    与卡塔兰猜想相似的有费马大定理。

    历史/卡塔兰猜想 编辑

    在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题。

    1320年左右,莱维·本·热尔松(Levi ben Gerson,1288年—1344年)证明2和3的幂之间只有8和9相差是1。

    莱昂哈德·欧拉证明,x2 - y3 = 1只有一解:x = 3,y = 2。

    勒贝格证明了方程xa - y2 = 1,a > 1 没有正整数解。

    1965年柯召证明方程x2 - yb = 1,b > 1 只有一个解。

    於是卡塔兰猜想只馀下a,b为奇素数的情况。

    1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解。雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特(Maurice Mignotte)也对这猜想作出贡献。

    皮莱(Pillai)猜想:把卡塔兰猜想一般化,推测正整数的幂之间的差趋向无限大;换句话说,对任何正整数,仅有限多对正整数的幂的差是这个数。这猜想仍未解决。

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